.. sectionauthor::   清水康行 <yasu@i-ric.org>

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Appendix III (s-n 座標の拡散方程式)
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.. _sn_diff:

s-n座標における拡散方程式の誘導
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:math:`s-n` 座標を直交曲線座標とします. :math:`s-n` 座標において, :math:`s` 軸は任意の曲線, :math:`n` 軸は `s` 軸に直交する直線座標軸とします．

.. _dif_sn:

.. figure:: images/0C/dif_sn.png
    :width: 80%

    : :math:`s-n` 座標の微小要素における濃度Flux収支 

拡散する物質の濃度を :math:`c` とし，拡散による :math:`s, n` 方向の単位幅Fluxおよび拡散係数をそれぞれ, 
:math:`F_s, F_n` , および :math:`D_s, D_n` とすると，以下の関係で表されます．

.. math::
    :label: sn_dif1

    F_s=-D_s\cfrac{\partial F_s}{\partial s}, \hspace{2cm} 
    F_n=-D_n\cfrac{\partial F_n}{\partial n}

:numref:`dif_sn` に示す微小要素における微小時間の濃度収支を考えると, 微小要素の面積が :math:`r\, \delta\theta\, \delta n` 
であることを考慮して次式が得られます．

.. math::
    :label: sn_dif2

    \cfrac{\partial c}{\partial t} r\, \delta\theta\, \delta n 
    =F_{n(n)}r \delta\theta - F_{n(n+\delta n)} (r+\delta n) \delta\theta
    +F_{s(s)}\delta n -F_{s(s+\delta s)}\delta n

.. math::
    :label: sn_dif21

    \cfrac{\partial c}{\partial t}=\cfrac{F_{n(n)}}{\delta n}-\cfrac{F_{n(n+\delta n)}\, (r+\delta n)}{r\delta n}
    +\cfrac{F_{s(s)}-F_{s(s+\delta s)}}{\delta s}

ここで,

.. math::
    :label: sn_dif3

    \cfrac{(r+\delta n)}{r\delta n}=\cfrac{1}{r}+\cfrac{1}{\delta n}

なので，:eq:`sn_dif21` 式の右辺第2項は, 

.. math::
    :label: sn_dif4

    \cfrac{F_{n(n+\delta n)}\, (r+\delta n)}{r\delta n}=
    \cfrac{F_{n(n+\delta n)}}{r}+\cfrac{F_{n(r+\delta n)}}{\delta n}

となり, 結局 :eq:`sn_dif21` 式は以下のようになります．

.. math::
    :label: sn_dif5

    \cfrac{\partial c}{\partial t} & =\cfrac{F_{n(n)}}{\delta n}-\cfrac{F_{n(n+\delta n)}}{\delta n}
    -\cfrac{F_{n(n+\delta n)}}{r}+\cfrac{F_{s(s)}-F_{s(s+\delta s)}}{\delta s}

    & =-\cfrac{\partial F_n}{\partial n}-\cfrac{1}{r}F_{n(r+\delta n)}-\cfrac{\partial F_s}{\partial s}

    & =\cfrac{\partial}{\partial s}\left(D_s \cfrac{\partial c}{\partial s}\right)
    +\cfrac{\partial}{\partial n}\left(D_n\cfrac{\partial c}{\partial n}\right)
    +\cfrac{D_n}{r}\cfrac{\partial c}{\partial n}

:math:`D_s=D_n=D` の場合は,

.. math::
    :label: sn_dif6

    \cfrac{\partial c}{\partial t}=D \left(
    \cfrac{\partial^2 c}{\partial s^2}+\cfrac{\partial^2 c}{\partial n^2}+
    \cfrac{1}{r}\cfrac{\partial c}{\partial n}
    \right)

となります．

.. _sn_con:

s-n座標における連続式の誘導(別解)
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:math:`s-n` 座標を直交曲線座標とします. :math:`s-n` 座標において, :math:`s` 軸は任意の曲線, :math:`n` 軸は `s` 軸に直交する直線座標軸とします．

.. _con_sn:

.. figure:: images/0C/con_sn.png
    :width: 80%

    : :math:`s-n` 座標の微小要素におけるFlux収支 

ただし, :math:`q_s, q_n` は流量Fluxです. :numref:`con_sn` に示す微小要素における微小時間の流量Flux収支を考えると, 微小要素の面積が :math:`r\, \delta\theta\, \delta n` 
であることを考慮して次式が得られます．

.. math::
    :label: sn_con1

    \cfrac{\partial h}{\partial t} r\, \delta\theta\, \delta n 
    =q_{n(n)}r \delta\theta - q_{n(n+\delta n)} (r+\delta n) \delta\theta
    +q_{s(s)}\delta n -q_{s(s+\delta s)}\delta n

.. math::
    :label: sn_con2

    \cfrac{\partial h}{\partial t}=\cfrac{q_{n(n)}}{\delta n}-\cfrac{q_{n(n+\delta n)}\, (r+\delta n)}{r\delta n}
    +\cfrac{q_{s(s)}-q_{s(s+\delta s)}}{\delta s}

ただし :math:`h` は微小要素内の平均水深です. ここで,

.. math::
    :label: sn_con3

    \cfrac{(r+\delta n)}{r\delta n}=\cfrac{1}{r}+\cfrac{1}{\delta n}

なので，:eq:`sn_con2` 式の右辺第2項は, 

.. math::
    :label: sn_con4

    \cfrac{q_{n(n+\delta n)}\, (r+\delta n)}{r\delta n}=
    \cfrac{q_{n(n+\delta n)}}{r}+\cfrac{q_{n(r+\delta n)}}{\delta n}

となり, 結局 :eq:`sn_con2` 式は以下のようになります．

.. math::
    :label: sn_con5

    \cfrac{\partial h}{\partial t} & =\cfrac{q_{n(n)}}{\delta n}-\cfrac{q_{n(n+\delta n)}}{\delta n}
    -\cfrac{q_{n(n+\delta n)}}{r}+\cfrac{q_{s(s)}-q_{s(s+\delta s)}}{\delta s}

    & =-\cfrac{\partial q_n}{\partial n}-\cfrac{1}{r}q_{n(r+\delta n)}-\cfrac{\partial q_s}{\partial s}

ここで,

.. math::
    :label: an_con6

    \cfrac{\partial(rq_n)}{\partial n}=r\cfrac{\partial q_n}{\partial n}+q_n\cfrac{\partial r}{\partial n}=r\cfrac{\partial q_n}{\partial n}+q_n

より,

.. math::
    :label: an_con7

    \cfrac{1}{r}\cfrac{\partial(rq_n)}{\partial n}=\cfrac{\partial q_n}{\partial n}+\cfrac{q_n}{r}

したがって,

.. math::
    :label: an_con8

    \cfrac{\partial h}{\partial t}+\cfrac{\partial q_s}{\partial s}+\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial(rq_n)}{\partial n}=0

または,

.. math::
    :label: an_con9

    \cfrac{\partial h}{\partial t}+\cfrac{\partial(hu_s)}{\partial s}+\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial(rhu_n)}{\partial n}=0