.. sectionauthor::   清水康行 <yasu@i-ric.org>

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Appendix IV (1次元不等流計算)
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.. _ftoryu:

1次元不等流計算
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1次元不等流計算は定常流れ場における開水路の1次元解析法であり，河川の
水面形を計算する基本的な手法であり，現在でも多くの河川の計画高水位の
算定などに使われている手法です．
本テキストで扱う2次元計算では，繰り返し計算における初期水面形の算定法
の一つとして用いられます．

任意断面形における1次元流れの式(不等流の式)は次式で表されます．

.. math::
    :label: ft_1

    \cfrac{dH}{dx}+\cfrac{d}{dx}\left(\alpha_e\cfrac{V^2}{2g}\right)+I_e=0

ただし, :math:`H` は水位, :math:`x` は流下方向距離, :math:`V` は断面平均流速
:math:`g` は重力加速度, :math:`I_e` はエネルギー勾配, :math:`\alpha_e` はエネルギー補正係数
です. 詳細は [Ref:37]_ で詳しく解説されていますので省略しますが, 
:math:`I_e` および :math:`\alpha_e` は以下ように表されます．

.. math::
    :label: energy_slope

    I_e = \cfrac{Q^2}{\left(
        \sum\limits_{j=1}^{n_y} \cfrac{1}{n_{mj}} h_j^{5/3} \Delta y_j
        \right)^2}

.. math::
    :label: energy_adj

    \alpha_e & =\cfrac{\sum\limits_{j=1}^{n_y} u_j^3 \Delta y_j}
        {V^3 A}
        =\cfrac{\sum\limits_{j=1}^{n_y} u_j^3 \Delta y_j} 
        {Q^3/A^2} 

        & =\cfrac{\sum\limits_{j=1}^{n_y}
                \left(\cfrac{1}{n_{mj}}h_j^{2/3}I_{ej}^{1/2}\right)^3 h_j \Delta y_j}
        {\left( 
        \sum\limits_{j=1}^{n_y} \cfrac{1}{n_{mj}} h^{5/3}_j \Delta y_j I_e^{1/2} 
            \right)^3/A^2}
        =\cfrac{A^2 \sum\limits_{j=1}^{n_y}
                \left(\cfrac{1}{n_{mj}} h_j^3 \Delta y_j \right)}
        {\left( 
        \sum\limits_{j=1}^{n_y} \cfrac{1}{n_{mj}} h^{5/3}_j \Delta y_j \right)^3}
        
.. math::
    :label: enegy_aa2

    \alpha_e\cfrac{V^2}{2g} = 
    \cfrac{A^2 \sum\limits_{j=1}^{n_y}
                \left(\cfrac{1}{n_{mj}} h_j^3 \Delta y_j \right)}
        {\left( 
        \sum\limits_{j=1}^{n_y} \cfrac{1}{n_{mj}} h^{5/3}_j \Delta y_j \right)^3}
        \cfrac{V^2}{2g}
        = \cfrac{Q^2}{2g}
        \cfrac{\sum\limits_{j=1}^{n_y}
                \left(\cfrac{1}{n_{mj}} h_j^3 \Delta y_j \right)}
        {\left( 
        \sum\limits_{j=1}^{n_y} \cfrac{1}{n_{mj}} h^{5/3}_j \Delta y_j \right)^3}

ただし, :math:`n_y` は横断方向分割数, :math:`n_{mj}` , :math:`h_j` および :math:`u_j` は
断面を横断方向に分割した時の :math:`j` 番目のマニングの粗度係数, 水深
および流速です．分割方法は :numref:`xsec` のようになります.
また, :math:`Q` は流量, :math:`A` は断面積, :math:`V` は断面平均流速です．

.. _xsec:

.. figure:: images/0D/xsec.png
   :width: 95%

   : 断面の横断方向分割

流路の上流から下流に向かって :math:`i-1` 番目の断面と :math:`i` 番目の断面間距離を
:math:`\Delta x` として :eq:`ft_1` を差分表示します．

.. math::
    :label: ft_1i

    \cfrac{H_{i}-H_{i-1}}{\Delta x} \hspace{10cm}
    
    +
    \cfrac{1}{2g}\cfrac{Q^2}{\Delta x}\left[
        \left\{
        \cfrac{\sum\limits_{j=1}^{n_y}
                \left(\cfrac{1}{n_{mj}} h_j^3 \Delta y_j \right)}
        {\left( 
        \sum\limits_{j=1}^{n_y} \cfrac{1}{n_{mj}} h^{5/3}_j \Delta y_j \right)^3}
    \right\}_i
    -\left\{
        \cfrac{\sum\limits_{j=1}^{n_y}
                \left(\cfrac{1}{n_{mj}} h_j^3 \Delta y_j \right)}
        {\left( 
        \sum\limits_{j=1}^{n_y} \cfrac{1}{n_{mj}} h^{5/3}_j \Delta y_j \right)^3}
    \right\}_{i-1}
    
    \right]

    +\cfrac{Q^2}{2} \left[ 
        \left\{ 
        \cfrac{1}{\left(
        \sum\limits_{j=1}^{n_y} \cfrac{1}{n_{mj}} h_j^{5/3} \Delta y_j
        \right)^2} \right\}_{i} +
        \left\{ 
        \cfrac{1}{\left(
        \sum\limits_{j=1}^{n_y} \cfrac{1}{n_{mj}} h_j^{5/3} \Delta y_j
        \right)^2} \right\}_{i-1}
        \right]
    
上式において :math:`i` が下流側, :math:`i-1` が上流側ですので，常流の場合は下流端の水位
を境界条件として与え，:math:`H_i \rightarrow H_{i-1}` に向かって順次計算することによって
水位は求まって行きます．

2次元蛇行河川の計算[ :ref:`sn_Nays2D` ]の計算コード [ ref:`sn_Nays2D_code` ]の中で
初期水位分布の設定法の一つとして，この不等流計算法が用いられています．

 https://github.com/YasuShimizu/2DH_Meander_Flow/blob/main/uniform.py