.. sectionauthor::   清水康行 <yasu@i-ric.org>

.. _Engelund:

========================================================
Appendix V (Engelundによる主流および2次流の流速分布式)
========================================================

.. note ::
    下記の式展開はEngelund [Ref:38]_ による原著論文を北海道大学 `岩崎理樹准教授 <https://www.facebook.com/toshiki.iwasaki.5>`_ が式展開・整理して頂いたものを
    ご厚意で提供頂き，本テキスト用に再整理したものです．
    2次元河床変動計算で良く用いられる「2次流強度=7」の根拠が :ref:`こちら<konkyo7>` になります．

.. _Eng_s:

主流の鉛直方向流速分布
===========================

水深平均流の流れ方向を :math:`s` ,鉛直上向き方向を :math:`z` とすると，
:math:`s` 方向の等流流れの運動方程式は次式で表されます.

.. math::
    :label: s_eq

    0=-g{{\partial H}\over{\partial s}}+{\partial \over{\partial z}} \left(\nu_t{{\partial u_s}\over{\partial z}}\right)

ここで，:math:`g` は重力加速度，:math:`H` は水位，:math:`s` は主流の流下方向, :math:`u_s` 
は :math:`s` 方向の流速，:math:`z` は鉛直方向座標軸, :math:`\nu_t` は渦動粘性係数です.
鉛直方向距離を水深 :math:`h` で無次元化し，河床高を :math:`z_b` ,無次元鉛直方向距離を
:math:`\zeta` (河床で0, 水面で1)とし，次式で表します．

.. math::
    :label: s_eq2

    \zeta=\cfrac{z-z_b}{h}


等流状態を仮定し，エネルギー勾配(=水面勾配)を :math:`I_e` とすると, :math:`I_e` は次式で
表されます.

.. math::
    :label: s_eq3

    I_e=-{{\partial H}\over{\partial s}}

主流の水深平均流速を :math:`<u_s>` とし, 次式で表します.

.. math::
    :label: s_eq4

    u_s(\zeta)=<u_s>f_s(\zeta)

ただし, `f_s` は
これを運動方程式 :eq:`s_eq` に代入します.

.. math::
    :label: s_eq5
    
    \cfrac{\partial^2 f_s}{\partial \zeta^2}=-\cfrac{gI_eh^2}{\nu_t <u_s>}

:math:`\zeta` で積分すると，

.. math::
    :label: s_eq6

    {{\partial f_s}\over{\partial \zeta}}=-\cfrac{gI_eh^2}{\nu_t<u_s>}\zeta+C_1

となります. ただし, :math:`C_1` は積分定数です. 水面でせん断力がゼロなので，:math:`\zeta=1` で 
:math:`\cfrac{\partial f_s}{\partial \zeta}=0` より :math:`C_1` は次式となり,
これを :math:`\beta` と置くと,

.. math::
    :label: s_eq7

    C_1=\cfrac{gI_eh^2}{\nu_t<u_s>}　\equiv \beta

となり, :eq:`s_eq6` 式は次式となります.

.. math::
    :label: s_eq8

    {{\partial f_s}\over{\partial \zeta}}=\beta(1-\zeta)

これをもう一度 :math:`\zeta` で積分すると, :math:`C_2` を積分定数として
:math:`f_s` は

.. math::
    :label: s_eq9

    f_s=\beta\left(\zeta-\cfrac{1}{2}\zeta^2\right)+C_2

となり, 平均流の定義より，

.. math::
    :label: s_eq10

    \int_0^1 f_s d\zeta =1=
    \left[
    \beta\left(\cfrac{1}{2}\zeta^2-\cfrac{1}{6}\zeta^3\right)+C_2\zeta
    \right]^1_0
    =\cfrac{1}{3}\beta+C_2

なので,

.. math::
    :label: s_eq11

    C_2=1-\cfrac{1}{3}\beta

となります. これを :eq:`s_eq10` 式に戻すと次式が得られます．

.. math::
    :label: s_eq12

    f_s=\left(-{1 \over 2}\zeta^2+\zeta-{1 \over 3}\right)\beta+1

渦動粘性係数を :math:`\nu_t=\alpha u_\ast h` で表し，
摩擦速度 :math:`u_\ast` が, :math:`u_\ast=\sqrt
{ghI_e}` であることを考慮すると，

.. math::
    :label: s_eq121

    \beta=\cfrac{gI_eh^2}{\nu_t<u_s>}=\cfrac{gI_eh}{\alpha u_\ast <u_s>}=\cfrac{u_\ast}{\alpha<u_s>}

となり, 底面での流速(Slip Velocity)を :math:`u_s^b` とすると

.. math::
    :label: d_eq13
    
    u_s^b=<u_s>f_s(0)=-\cfrac{u_\ast}{3\alpha}+<u_s>

より,

.. math::
    :label: s_eq13

    \cfrac{<u_s>}{u_\ast} = \cfrac{u_s^b}{u_\ast}+\cfrac{1}{3\alpha}

.. math::
    :label: s_eq14
    
    \cfrac{u_s^b}{u_\ast}=2+{{1}\over{\kappa}} \ln {{h}\over{k_s}} =r_\ast

とおくと，

.. math::
    :label: s_eq15

    u_\ast^2h(1-\xi)=\alpha u_* h{{\partial u}\over{\partial \xi}}

したがって,

.. math::
    :label: s_eq16

    \cfrac{<u_s>}{u_\ast} = r_\ast+\cfrac{1}{3\alpha}

.. math::
    :label: s_eq17

    \cfrac{u_\ast}{<u_s>}= \cfrac{1}{r_\ast + \cfrac{1}{3\alpha}}
    =\cfrac{3\alpha}{3\alpha r_\ast +1}

これを :eq:`s_eq12` 式に代入すると

.. math::
    :label: s_eq18

    \beta=\left(\cfrac{3\alpha}{3\alpha r_\ast +1}\right)\cfrac{1}{\alpha}
    =\cfrac{1}{\alpha r_\ast+\cfrac{1}{3}}

.. math::
    :label: s_eq19

    \cfrac{1}{\beta} = \alpha r_\ast + \cfrac{1}{3}

ゆえに, 

.. math::
    :label: s_eq20

    f_s=\left(
    -\cfrac{1}{2}\zeta^2+\zeta-\cfrac{1}{3}\right)\beta+1
    =\left(
    -\cfrac{1}{2}\zeta^2+\zeta-\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{\beta}
    \right)\beta
    =\cfrac{\alpha r_\ast + \zeta - \cfrac{1}{2} \zeta^2}{\alpha r_\ast + \cfrac{1}{3}}

ここで, :math:`r_\ast \alpha=\chi` , :math:`\chi_1=\alpha r_\ast +\cfrac{1}{3}` とすると,

.. math::
    :label: s_eq21

    f_s=\cfrac{\chi+\zeta-\cfrac{\zeta^2}{2}}{\chi_1}

したがって, :math:`u_s(\zeta)` は次式となります．

.. math::
    :label: s_eq22

    u_s(\zeta)=<u_s>\cfrac{\chi+\zeta-\cfrac{\zeta^2}{2}}{\chi_1}

:eq:`s_eq22` 式が **放物線分布** と呼ばれる流線方向の流速鉛直分布式です．

.. _Eng_n:

2次流の流速分布
=============================

.. _s-n-coord:

.. figure:: images/0D/s-n-coord.png
   :width: 80%

   : 座標系の定義

:numref:`s-n-coord` に示すように, 
主流方向の流れが曲率半径 :math:`r_s` でカーブしている場合（主流方向を :math:`s` 軸とし,
:math:`s` 軸に向かって右にカーブしている場合を :math:`r_s>0` とする, :numref:`s-n-coord` では :math:`r_s<0` となる)，
:math:`n` 軸を :math:`s` 軸に直交する方向で :math:`s` が増加する方向に向かって左側が正になる方向に取り，:math:`n` 方向の流速を :math:`u_n` とすると，:math:`n` 軸方向の等流流れの運動方程式は次式で表されます．

.. math::
    :label: n_eq1

    {{u_s^2}\over{r_s}} = -g{{\partial H}\over{\partial n}} +{{\partial}\over{\partial z}}
    \left( \nu_t {{\partial u_n}\over{\partial z}} \right)

ただし，

.. math::
    :label: n_eq2

    \cfrac{1}{r_s}= \cfrac{\partial \theta_s}{\partial s}

ここで，:math:`\theta` は :math:`x` 軸と主流方向 :math:`s` とのなす角度です.
:math:`n` 方向の流速に以下の分布を仮定します．

.. math::
    :label: n_eq3

    u_n(\zeta)=A_n f_n(\zeta)

ただし, :math:`A_n` は2次流強度を表す係数，:math:`f_n` は無次元流速分布関数です．
これを :eq:`n_eq1` に代入して整理すると，

.. math::
    :label: n_eq4

    \cfrac{\partial^2 f_n}{\partial \zeta^2}=\cfrac{g h^2}{\nu_t A_n} \cfrac{\partial H}{\partial n}
    +\cfrac{<u_s>^2 h^2}{\nu_t A_n r_s} f_s^2
    =\cfrac{<u_s>^2h^2}{\nu_t A_n r_s} \left( \cfrac{g r_s}{<u_s>^2}\cfrac{\partial H}{\partial n}
    +f_s^2 \right)

ここで, 

.. math::
    :label: n_eq5

    \cfrac{<u_s>^2h^2}{\nu_t A_n r_s} \equiv A
    
.. math::
    :label: n_eq6

    \cfrac{g r_s}{<u_s>^2}\cfrac{\partial H}{\partial n} \equiv B

とおくと, :eq:`n_eq4` 式は,

.. math::
    :label: n_eq7

    \cfrac{\partial^2 f_n}{\partial \zeta^2}=A(B+f_s^2)

と書けます，これを, :math:`\zeta` で積分しますと，

.. math::
    :label: n_eq8

    \cfrac{\partial f_n}{\partial \zeta}
     =AB\zeta+ A\int \left[\left\{{ {1}\over{\chi_1}} 
    \left( \chi + \zeta -{{1}\over{2}} \zeta^2 \right)\right\}^2
    \right] d\zeta + C_3 \\
    =AB \zeta + \cfrac{A}{{\chi_1}^2} \left[
    \chi^2 \zeta + \chi \zeta^2 +{{1}\over{3}}(1-\chi)\zeta^3-{{1}\over{4}}\zeta^4+
    {{1}\over{20}}\zeta^5 \right] +C_3

となる．ただし :math:`C_3` は積分定数です．
水面では :math:`\cfrac{\partial f_n}{\partial \zeta}=0` (Slip条件)なので，

.. math::
    :label: n_eq9

    C_3=-AB - \cfrac{A}{{\chi_1}^2} \left(\chi^2+{{2}\over{3}}\chi+{{2}\over{15}} \right)

よって，

.. math::
    :label: n_eq10

    \cfrac{\partial f_n}{\partial \zeta}
    =AB \zeta + \cfrac{A}{{\chi_1}^2} \left[
    \chi^2 \zeta + \chi \zeta^2 +{{1}\over{3}}(1-\chi)\zeta^3-{{1}\over{4}}\zeta^4+
    {{1}\over{20}}\zeta^5 \right] \\
     -\left[
    AB + \cfrac{A}{{\chi_1}^2} \left(\chi^2+{{2}\over{3}}\chi+{{2}\over{15}} \right)
    \right]

これをもう1度 :math:`\zeta` に関して積分します．

.. math::
    :label: n_eq11

    f_n={{1}\over{2}} AB\zeta^2 +\cfrac{A}{{\chi_1}^2} \left[
    {{1}\over{2}}\chi^2 \zeta^2 + {{1}\over{3}}\chi \zeta^3 +{{1}\over{12}}(1-\chi)\zeta^4-{{1}\over{20}}\zeta^5+
    {{1}\over{120}}\zeta^6 \right] \\
     -\left[
    AB + \cfrac{A}{{\chi_1}^2} \left(\chi^2+{{2}\over{3}}\chi+{{2}\over{15}} \right)
    \right]\zeta + C_4

ただし, :math:`C_4` は積分定数です. 2次流はその定義から水深方向積分値はゼロになります. 
すなわち :math:`\displaystyle{\int_0^1 f_n d\zeta =0}` なので,

.. math::
    :label: n_eq12

    \int_0^1 f_n d \zeta =
    {{1}\over{6}} AB\zeta^3 +\cfrac{A}{{\chi_1}^2} \left[
    {{1}\over{6}}\chi^2 \zeta^3 + {{1}\over{12}}\chi \zeta^4 +{{1}\over{60}}(1-\chi)\zeta^5-{{1}\over{120}}\zeta^6+
    {{1}\over{840}}\zeta^7 \right] \\
     -\left[
    AB + \cfrac{A}{{\chi_1}^2} \left(\chi^2+{{2}\over{3}}\chi+{{2}\over{15}} \right)
    \right]\cfrac{\zeta^2}{2} + C_4\zeta =0

これより，

.. math::
    :label: n_eq13

    C_4={{1}\over{3}}AB + \cfrac{A}{{\chi_1}^2} \left[
    {{1}\over{3}} \chi^2 +{{4}\over{15}}\chi +{{2}\over{35}} \right]

これを :eq:`n_eq11` 式に代入しますと，

.. math::
    :label: n_eq14

    f_n={{A}\over{2}} \left(B+\cfrac{\chi^2}{{\chi_1}^2}\right)\zeta^2 +\cfrac{A}{{\chi_1}^2} \left[
    {{1}\over{3}}\chi \zeta^3 +{{1}\over{12}}(1-\chi)\zeta^4-{{1}\over{20}}\zeta^5+
    {{1}\over{120}}\zeta^6 \right] \\
     -\left[
    AB + \cfrac{A}{{\chi_1}^2} \left(\chi^2+{{2}\over{3}}\chi+{{2}\over{15}} \right)
    \right]\zeta +{{1}\over{3}}AB+\cfrac{A}{{\chi_1}^2}
    \left({{1}\over{3}}\chi^2+{{4}\over{15}}\chi+{{2}\over{35}}\right)

一方, 底面流速ベクトルの方向とせん断力ベクトルの方向は同ですので,

.. math::
    :label: n_eq15

    \cfrac{u_n^b}{u_s^b} = \cfrac{\tau_n^b}{\tau_s^b}

ただし, :math:`u_s^b, u_n^b, \tau_s^b, \tau_n^b` はそれぞれ,
:math:`s` 方向よよび, :math:`n` 方向の底面流速および河床せん断力です．
:eq:`n_eq15` 式中の各値は下記 :eq:`n_eq16` :math:`\sim` :eq:`n_eq19` です．

.. math::
    :label: n_eq16

    u_s^b=<u_s>f_s(0)=<u_s> \cfrac{\chi}{\chi_1}

.. math::
    :label: n_eq17

    u_n^b=A_n f_n(0) = A A_n \left[{{1}\over{3}}B + {{1}\over{{\chi_1}^2}} \left(
    {{1}\over{3}}\chi^2+{{4}\over{15}}\chi+{{2}\over{35}} \right) \right]

.. math::
    :label: n_eq18

    \cfrac{\tau_s^b}{\rho} = u_\ast^2

.. math::
    :label: n_eq19

    \cfrac{\tau_n^b}{\rho} = \nu_t \left. \cfrac{\partial u_n}{\partial z} \right|_{z=0}
    =\nu_t \cfrac{A_n}{h} \left. \cfrac{\partial f_n}{\partial \zeta} \right|_{\zeta=0} 
    =-\alpha u_\ast A_n A \left[
    B+{{1}\over{{\chi_1}^2}} \left(\chi^2+{{2}\over{3}}\chi +{{2}\over{15}} \right) \right]

これらを :eq:`n_eq15` 式に代入します．

.. math::
    :label: n_eq20

    \cfrac{ A A_n \left[\cfrac{1}{3}B + \cfrac{1}{{\chi_1}^2} \left(
    \cfrac{1}{3}\chi^2+\cfrac{4}{15}\chi+\cfrac{2}{35} \right) \right]}
    {<u_s> \cfrac{\chi}{\chi_1}} \\
    =-\cfrac{\alpha u_\ast A_n A \left[
    B+\cfrac{1}{{\chi_1}^2} \left(\chi^2+\cfrac{2}{3}\chi +\cfrac{2}{15} \right) \right]}
    {u_\ast^2} \\
    \cfrac{1}{3}B+\cfrac{1}{{\chi_1}^2} \left(
    \cfrac{1}{3}\chi^2+\cfrac{4}{15}\chi+\cfrac{2}{35} \right) \\
    =-\alpha \cfrac{<u_s>}{u_\ast} \cfrac{\chi}{\chi_1} 
    \left[
    B+\cfrac{1}{{\chi_1}^2} \left(\chi^2+\cfrac{2}{3}\chi +\cfrac{2}{15} \right) \right]

ここで，

.. math::
    :label: n_eq21

    \cfrac{<u_s>}{u_\ast} =
    r_\ast +\cfrac{1}{3\alpha}=\cfrac{\chi_1}{\alpha}, \; \;
    \chi_1=\chi+\cfrac{1}{3}

の関係を用いると，

.. math::
    :label: n_eq22

    \cfrac{1}{3}B+\cfrac{1}{{\chi_1}^2} \left(
    \cfrac{1}{3}\chi^2+\cfrac{4}{15}\chi+\cfrac{2}{35} \right) 
    =-\chi \left[
    B+\cfrac{1}{{\chi_1}^2} \left(\chi^2+\cfrac{2}{3}\chi +\cfrac{2}{15} \right) \right]

.. math::
    :label: n_eq23

    \left(\chi+\cfrac{1}{3}\right)B=-\cfrac{1}{{\chi_1}^2}
    \left(\chi^3+\chi^2+\cfrac{2}{5}\chi+\cfrac{2}{35}\right)

.. math::
    :label: n_eq24

    B=-\cfrac{1}{{\chi_1}^3}\left(\chi^3+\chi^2+\cfrac{2}{5}\chi+\cfrac{2}{35}\right)

となります. これより :math:`f_n` は

.. math::
    :label: n_eq25

    \cfrac{f_n}{A}=\cfrac{1}{2}\left(B+\cfrac{\chi^2}{{\chi_1}^2}\right)\zeta^2
    +\cfrac{1}{{\chi_1}^2} \left[
    \cfrac{1}{3}\chi\zeta^3+\cfrac{1}{12}(1-\chi)\zeta^4-\cfrac{1}{20}\zeta^5+\cfrac{1}{120}\zeta^6 \right] \\
    -\left[B+\cfrac{1}{{\chi_1}^2}\left(\chi^2+\cfrac{2}{3}\chi+\cfrac{2}{15}\right)\right]\zeta
    +\left[\cfrac{1}{3}B+\cfrac{1}{{\chi_1}^2}\left(\cfrac{1}{3}\chi^2+\cfrac{4}{15}\chi+\cfrac{2}{35}\right)\right]

となります. ここで, 右辺最終項は :eq:`n_eq22` 式の関係を用いると，

.. math::
    :label: n_eq26

    \cfrac{f_n}{A}=\cfrac{1}{2}\left(B+\cfrac{\chi^2}{{\chi_1}^2}\right)\zeta^2
    +\cfrac{1}{{\chi_1}^2} \left[
    \cfrac{1}{3}\chi\zeta^3+\cfrac{1}{12}(1-\chi)\zeta^4-\cfrac{1}{20}\zeta^5+\cfrac{1}{120}\zeta^6 \right] \\
    -\left[B+\cfrac{1}{{\chi_1}^2}\left(\chi^2+\cfrac{2}{3}\chi+\cfrac{2}{15}\right)\right]\zeta
    -\chi \left[
    B+\cfrac{1}{{\chi_1}^2} \left(\chi^2+\cfrac{2}{3}\chi +\cfrac{2}{15} \right) \right] \\
    =\cfrac{1}{{\chi_1}^2} \left[
    -\left(\chi^2+\cfrac{2}{3}\chi+\cfrac{2}{15}\right) \left(\zeta+\chi\right) 
    +\cfrac{1}{2}\chi^2 \zeta^2+\cfrac{1}{3}\chi\zeta^3 \right. \\
    +\left. \cfrac{1}{12}\left(1-\chi \right)\zeta^4-\cfrac{1}{20}\zeta^5+\cfrac{1}{120}\zeta^6
    \right]+B\left(\cfrac{1}{2}\zeta^2-\zeta-\chi\right)

となります. ここで，

.. math::
    :label: n_eq27

    A=\cfrac{<u_s>^2 h^2}{\nu_t A_n r_s}=
    \cfrac{1}{A_n} \cfrac{<u_s>^2 h^2}{\alpha u_\ast h r_s} \\
    =\cfrac{1}{A_n} \cfrac{1}{\alpha} \cfrac{<u_s>}{u_\ast} <u_s> \cfrac{h}{r_s}
    =\cfrac{1}{A_n} \cfrac{1}{C_f \chi_1} <u_s> \cfrac{h}{r_s}

なので，2次流強度 :math:`A_n` を

.. math::
    :label: n_eq28

    A_n =  <u_s>\cfrac{h}{r_s}


と定義すると，最終的に2次流分布は下記のようになります.

.. math::
    :label: n_eq281

    u_n=A_n f_n, \; \; f_n=\cfrac{G_0(\zeta)}{C_f \chi_1}

ただし，

.. math::
    :label: n_eq29

    G_0(\zeta)=\cfrac{1}{{\chi_1}^2}\left[
    -\left(\chi^2+\cfrac{2}{3}\chi+\cfrac{2}{15}\right)\left(\zeta+\chi\right)+\cfrac{1}{2}\chi^2\zeta^2+\cfrac{1}{3}\chi\zeta^3 \right. \\
    \left. +\cfrac{1}{12}\left(1-\chi\right)\zeta^4 -\cfrac{1}{20}\zeta^5+\cfrac{1}{120}\zeta^6 \right]+\chi_{20}\left(\cfrac{1}{2}\zeta^2-\zeta-\chi\right)

.. math::
    :label: n_eq30

    \chi_{20} = B =  -\cfrac{1}{{\chi_1}^3} \left(\chi^3+\chi^2+\cfrac{2}{5}\chi+\cfrac{2}{35}\right), \: \:  \cfrac{<u_s>}{u_\ast} = \cfrac{1}{\sqrt{C_f}}, \; \chi=\chi_1-\cfrac{1}{3}

これがEngelundによる2次流の6次式です．

底面流速
================

河床変動計算においては2次流の影響を考慮した底面流速の方向(流砂の方向)が重要になります．
ここまで得られた流速分布から底面流速を求めます．

.. math::
    :label: eqb_1

    \left. u_n\right|_{z=0}=A_n f_n(0) \\
    =\cfrac{A_n}{C_f \chi_1} \left[
    -\cfrac{\chi}{{\chi_1}^2}\left(\chi^2+\cfrac{2}{3}\chi+\cfrac{2}{15}\right)
    +\cfrac{\chi}{{\chi_1}^3} \left(\chi^3+\chi^2+\cfrac{2}{5}\chi+\cfrac{2}{35}\right) \right] \\
    =\cfrac{A_n \chi}{C_f {\chi_1}^4} \left[
    \left(\chi^3+\chi^2+\cfrac{2}{5}\chi+\cfrac{2}{35}\right)
    -\chi_1 \left(\chi^2+\cfrac{2}{3}\chi+\cfrac{2}{15}\right) \right] \\
    =\cfrac{A_n \chi}{C_f {\chi_1}^4} \left[
    \left(\chi^3+\chi^2+\cfrac{2}{5}\chi+\cfrac{2}{35}\right)
    -\left( \chi + {1 \over 3} \right)\left(\chi^2+\cfrac{2}{3}\chi+\cfrac{2}{15}\right) \right] \\
    =\cfrac{A_n \chi}{C_f {\chi_1}^4} \left(\cfrac{2}{45}\chi+\cfrac{4}{315}\right)

なお, 一般的に良く2次元モデルで使用される横断方向( :math:`n` 方向)の底面流速式は

.. math::
    :label: eqb_2

    \left. u_n \right|_{z=0} = \left. u_s \right|_{z=0} N_\ast \cfrac{h}{r_s}

のような形で主流方向( :math:`s` 方向)の底面との関係で示される場合が多い．
主流の底面流速は, 

.. math:
    :label: eqb_3

    \left. u_s \right|_{z=0} =<u_s>f_s(0)=<u_s>\cfrac{\chi}{\chi_1}

ですので，

.. math::
    :label: eqb_4

    \left. u_n \right|_{z=0} = \cfrac{\chi}{\chi_1} N_\ast <u_s> \cfrac{h}{r_s}

となります. 一方，  :eq:`eqb_1` 式で平衡状態の :math:`A_n` を与えれば，

.. math::
    :label: eqb_5
    
    \left. u_n \right|_{z=0} 
    =\cfrac{A_n \chi}{C_f {\chi_1}^4} \left(\cfrac{2}{45}\chi+\cfrac{4}{315}\right)
    =\cfrac{\chi}{C_f {\chi_1}^4} \left(\cfrac{2}{45}\chi+\cfrac{4}{315}\right)
    <u_s>\cfrac{h}{r_s}

ここで, :eq:`eqb_4` 式と :eq:`eqb_5` 式を比較すると,

.. math::
    :label: eqb_6

    N_\ast =\cfrac{1}{C_f {\chi_1}^3} \left(\cfrac{2}{45}\chi + \cfrac{4}{315}\right)

と表すことが出来ます． 

.. _konkyo7:

2次流強度について
^^^^^^^^^^^^^^^^^^

例えば, :math:`\alpha=\cfrac{\kappa}{6}=0.077` , :math:`C_f=0.01` とすれば，
:math:`N_\ast=7.03` となりこれが, 2次元河床変動計算で良く使用される **2次流強度** :math:`N_\ast=7` **の根拠** ということに
なります．
逆に :math:`N_\ast` を条件として与えた場合,

.. math::
    :label: eqb_7

    C_f =\cfrac{1}{N_\ast {\chi_1}^3} \left(\cfrac{2}{45}\chi + \cfrac{4}{315}\right)

となります．